Question

12．隨著生活水平和消費觀念的轉(zhuǎn)變，“三品一標(biāo)”（無公害農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、有機食品和農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志）已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業(yè)成立了有機食品快速檢測室，假設(shè)該品牌植物油每瓶含有機物A的概率為p（0＜p＜1），需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機物A，若化驗結(jié)果呈陽性則含A，呈陰性則不含A．若多瓶該種植物油檢驗時，可逐個抽樣化驗，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗，僅當(dāng)至少有一瓶油含有有機物A時混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗．
（1）若$p=\frac{1}{3}$，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；
（2）現(xiàn)有4瓶該種植物油需要化驗，有以下兩種方案：
方案一：均分成兩組化驗；方案二：混在一起化驗；請問哪種方案更適合（即化驗次數(shù)的期望值更�。�，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數(shù)，利用相互對立事件的概率計算公式可得所求的概率為P（X≥1）=1-P（X=0）．
（2）設(shè)q=1-p，則0＜q＜1．
方案一：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次，利用二項分布列的概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．
方案二：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q⁴，P（Z=5）=1-q⁴，E（Z）=1×q⁴+5×（1-q⁴）．進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數(shù)，
所求的概率為$P（{X≥1}）=1-P（{X=0}）=1-{（{1-\frac{1}{3}}）^3}=\frac{19}{27}$，
所以3瓶該種植物油的混合油樣呈陽性的概率為$\frac{19}{27}$．
（2）設(shè)q=1-p，則0＜q＜1．
方案一：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次，$P（{Y=2}）={q^4}，P（{Y=4}）=C_2^1（{1-{q^2}}）{q^2}，P（{Y=6}）={（{1-{q^2}}）^2}$，$E（Y）=2×{q^4}+4×C_2^1（{1-{q^2}}）{q^2}+6×{（{1-{q^2}}）^2}=6-4{q^2}$．
方案二：設(shè)所需化驗的次數(shù)為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q⁴，P（Z=5）=1-q⁴，E（Z）=1×q⁴+5×（1-q⁴）=5-4q⁴．
因為E（Y）-E（Z）=6-4q²-（5-4q⁴）=（2q²-1）²≥0，即E（Y）≥E（Z），
所以方案二更適合．

點評 本題考查了相互對立與互斥事件的概率計算公式、二項分布列的概率計算公式及其數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．