Question

20．據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2016年底全國微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億，為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

微信群數(shù)量（個(gè)）	頻數(shù)	頻率
0～4		0.15
5～8	40	0.4
9～12	25
13～16	a	c
16以上	5	b
合計(jì)	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值及樣本中微信群個(gè)數(shù)超過12的概率；
（Ⅱ）若從這100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的頻率作為概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過12的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在0至4這一段，對應(yīng)的頻數(shù)為15，由此能求出a，b，c的值及樣本中微信群個(gè)數(shù)超過12的概率．
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過12”為事件A，利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過12的概率．
（Ⅲ）由題意知微信群個(gè)數(shù)超過12的概率為P=$\frac{1}{5}$，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）在0至4這一段，對應(yīng)的頻數(shù)為15，
由已知得：15+40+25+a+5=100，
解得a=15，
∴b=$\frac{5}{100}$=0.05，c=$\frac{15}{100}=0.15$，c=$\frac{15}{100}$=0.15，
樣本中微信群個(gè)數(shù)超過12的概率p=$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）記“2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過12”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{20}^{1}{C}_{40}^{1}}{{C}_{200}^{2}}$=$\frac{32}{99}$，
∴2人中恰有1人微信群個(gè)數(shù)超過12的概率為$\frac{32}{99}$．
（Ⅲ）由題意知微信群個(gè)數(shù)超過12的概率為P=$\frac{1}{5}$，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（1-\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}+2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．