Question

如圖所示的三角形數陣中，滿足：（1）第1行的數為1，（2）第n（n≥2）行首尾兩數均為n，其余的數都等于它肩上的兩個數相加，則第n+1行中第2個數是

 

（用n表示）．

Answer 1

分析：為了更好的觀察，每一行第二個數字之間的彼此聯系，本題可以在第一行的第二個位置增加一個數為1，由數列求通項可以先找到相鄰兩項的等式關系，然后由數列求通項的方法求出第n+1項即可．

解答：解：設第一行的第二個數為a₁=1，
由此可得上一行第二個數與下一行第二個數滿足等式a_n+1=a_n+n，
即a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-1-a_n-2=n-2，a_n-a_n-1=n-1，a_n+1-a_n=n，
∴a_n+1=（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=

n(n+1)

2

+1=

n2+n+2

2

；
故答案應填

n2+n+2

2

點評：本題主要考查數列的遞推關系，其解題關鍵在于找到相鄰項的遞推公式，屬于中檔難度的題型，容易在計算項的時候出現失誤．