【題目】已知二次函數(shù)的圖象過點（1，13），且函數(shù) 是偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）已知,，求函數(shù)在[，2]上的最大值和最小值；

（3）函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析：（1）由是偶函數(shù)，知函數(shù)的對稱軸是，再由二次函數(shù)性質(zhì)可得；

（2）由（1），按的正負分類去絕對值符號，得兩個二次函數(shù)，配方得對稱軸，再按對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類可求得最值；

（3）假設(shè)存在，并設(shè)點坐標P，其中為正整數(shù)，為自然數(shù)，則，從而，即 ，注意到43是質(zhì)數(shù)，且，可得，，從而得解.

詳解：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對稱軸方程為，故.

又因為二次函數(shù)的圖象過點（1，13），所以，故.

因此，的解析式為.

（2） 當時，，

當時，，

由此可知=0．

當，；

當，；

當，；

（3）如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點，設(shè)為P，其中為正整數(shù)，為自然數(shù)，則，從而，

即.

注意到43是質(zhì)數(shù)，且，，所以有解得

因此，函數(shù)的圖象上存在符合要求的點，它的坐標為（10，121）.

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A.
B.
C.
D.

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