Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂（a-x）-log₂（x+1）（a＞0）是奇函數(shù)．
（1）試求不等式f（2x²）+f（-2-3x）≥0的解集；
（2）記（1）中不等式的解集為A，當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)g（x）=8^-2x+8^2x-2k（8^-x-8^x）的最小值為-2，試求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行求出a的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）依題意得f（0）=0，即f（0）=log₂a-log₂1=log₂a=0，故a=1，（1分）
故f（x）=log₂（1-x）-log₂（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1．
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．（2分）
由于y=log₂（1-x）和y=-log₂（x+1），均為減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）為（-1，1）上的減函數(shù)，
原不等式可化為f（2x²）≥-f（-2-3x）=f（3x+2），
所以$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-3x-2≤0}\\{-1＜2{x}^{2}＜1}\\{-1＜3x+2＜1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$≤x$＜-\frac{1}{3}$．
即原不等式的解集為[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$）．（6分）
（2）g（x）=8^-2x+8^2x-2k（8^-x-8^x）=（8^-x+8^x）²-2k（8^-x-8^x）+2，
令t=8^-x+8^x，則t=8^-x+8^x是關(guān)于x的減函數(shù)，由-$\frac{1}{2}$≤x$＜-\frac{1}{3}$，得$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，（8分）
令h（t）=t²-2kt+2=（t-k）²+2-k²，$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7\sqrt{2}}{4}$ （9分）
當(dāng)k≥$\frac{7\sqrt{2}}{4}$時(shí)，h（t）在$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7\sqrt{2}}{4}$上單調(diào)遞減，
h（t）_min=h（$\frac{7\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{65}{8}$$-\frac{7\sqrt{2}}{2}k$=-2，得k=$\frac{81\sqrt{2}}{56}$＜$\frac{98\sqrt{2}}{56}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，不合題意，舍去．
當(dāng)k≤$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）在$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{7\sqrt{2}}{4}$上單調(diào)遞增，h（t）無(wú)最小值．
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜k＜$\frac{7\sqrt{2}}{4}$時(shí)，h（t）_min=h（k）=2-k²=-2解得k=±2，又k＞0，故k=2．
綜上所述，k的值為2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以及利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．