Question

3．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓C與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于B（0，2），且$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，過點(diǎn)D（4，0）作直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)P，Q，則直線l的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． -1＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜1
• D． -1＜k＜1

Answer 1

分析 F（c，0），A（a，0），B（0，2），由于$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，可得ca+4=$4\sqrt{2}$+4，又b=2，a²=b²+c²，可得橢圓C的方程．設(shè)直線l的方程為：y=k（x-4），與橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，利用△＞0  即可得出．

解答 解：F（c，0），A（a，0），B（0，2），
∵$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=4$\sqrt{2}$+4，
∴ca+4=$4\sqrt{2}$+4，又b=2，a²=b²+c²，
解得a²=8，c²=4，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，
∵直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)P，Q，
∴△=256k⁴-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，
化為：k²$＜\frac{1}{2}$，
解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線l的斜率的取值范圍是$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．