Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），A，B是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率分別為k₁、k₂，若橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則|k₁•k₂|=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)A（m，n），B（-m，-n），P（x，y），代入橢圓方程，兩式相減，再由斜率公式，離心率公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得k₁•k₂=-$\frac{1}{2}$，則答案可求．

解答 解：設(shè)A（m，n），B（-m，-n），P（x，y），
則有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式相減得，$\frac{{m}^{2}-{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{^{2}}=0$，
則有$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由于橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
即有-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，∴$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
k₁•k₂=$\frac{n-y}{m-x}•\frac{n+y}{m+x}$=$\frac{{n}^{2}-{y}^{2}}{{m}^{2}-{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴|k₁•k₂|=$|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．