Question

5．如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為2和4，AB=4，E、F分別為PC、AQ的中點(diǎn)，則直線EF與平面PBQ所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立坐標(biāo)系，則E（-$\sqrt{2}，0，1$），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0，-2），求出平面PBQ的法向量，即可得出直線EF與平面PBQ所成角的正弦值．

解答 解：如圖所示，建立坐標(biāo)系，則E（-$\sqrt{2}，0，1$），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0，-2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（2$\sqrt{2}$，0，-3），
∵平面PBQ的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$，
∴直線EF與平面PBQ所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．
故答案為$\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查直線EF與平面PBQ所成角的正弦值，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．