Question

11．（1）已知sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，求sinxcosx的值；
（2）a為實(shí)數(shù)，求函數(shù)f（x）=sinxcosx+a（sinx-cosx），x∈[$\frac{π}{2}$，π]的最大值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，即可求出sinxcosx的值；
（2）設(shè)t=sinx-cosx，右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出t的范圍，然后兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形表示出sinxcosx，代入f（x）解析式，分類討論a的范圍求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）將sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，兩邊平方得：（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
整理得：sinxcosx=$\frac{12}{25}$；
（2）設(shè)t=sinx-cosx，則t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，得到t∈[1，$\sqrt{2}$]，
由t²=（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx，得到sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$t²+at+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-a）²+$\frac{{a}^{2}+1}{2}$=g（t）（t∈[1，$\sqrt{2}$]），
拋物線開口向下，下面對(duì)a進(jìn)行討論：
①當(dāng)a＜1時(shí)，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]遞減，此時(shí)原函數(shù)的最大值為g（1）=a；
②當(dāng)1≤a≤$\sqrt{2}$時(shí)，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]上先增后減，此時(shí)原函數(shù)的最大值為g（a）=$\frac{{a}^{2}+1}{2}$；
③當(dāng)a＞$\sqrt{2}$時(shí)，g（t）在[1，$\sqrt{2}$]上遞增，原函數(shù)的最大值為g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$a-$\frac{1}{2}$，
綜上，當(dāng)a＜1時(shí)，最大值為a；當(dāng)1≤a≤$\sqrt{2}$時(shí)，最大值為$\frac{{a}^{2}+1}{2}$；當(dāng)a＞$\sqrt{2}$時(shí)，最大值為$\sqrt{2}$a-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．