【題目】如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側視圖為正三角形,俯視圖為正方形(尺寸如圖所示),E為VB的中點.
(1)求證:VD∥平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

【答案】
(1)證明:由正視圖可知:平面VAB⊥平面ABCD

連接BD交AC于O點,連接EO,由已知得BO=OD,VE=EB

∴VD∥EO

又VD平面EAC,EO平面EAC

∴VD∥平面EAC;


(2)解:設AB的中點為P,則VP⊥平面ABCD,建立如圖所示的坐標系,

=(0,1,0)

設平面VBD的法向量為

∴由 ,可得 ,∴可取 =( , ,1)

∴二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ= =


【解析】(1)欲證VD∥平面EAC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內一直線平行即可,而連接BD交AC于O點,連接EO,由已知易得VD∥EO,VD平面EAC,EO平面EAC,滿足定理條件;(2)設AB的中點為P,則VP⊥平面ABCD,建立坐標系,利用向量的夾角公式,可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

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C.充要條件
D.既非充分又非必要條件

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