Question

【題目】如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為正三角形，俯視圖為正方形（尺寸如圖所示），E為VB的中點．
（1）求證：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由正視圖可知：平面VAB⊥平面ABCD

連接BD交AC于O點，連接EO，由已知得BO=OD，VE=EB

∴VD∥EO

又VD平面EAC，EO平面EAC

∴VD∥平面EAC；

（2）解：設AB的中點為P，則VP⊥平面ABCD，建立如圖所示的坐標系，

則 =（0，1，0）

設平面VBD的法向量為

∵

∴由 ，可得 ，∴可取 =（ ， ，1）

∴二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ= =

【解析】（1）欲證VD∥平面EAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內一直線平行即可，而連接BD交AC于O點，連接EO，由已知易得VD∥EO，VD平面EAC，EO平面EAC，滿足定理條件；（2）設AB的中點為P，則VP⊥平面ABCD，建立坐標系，利用向量的夾角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．