Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且a₂+a₈=-8，a₆=0，數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=3，且b₃=9，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式；
（2）記c_n=（$\frac{{a}_{n}}{4}+7$）•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂+a₈=-8，a₆=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+8d=-8}\\{{a}_{1}+5d=0}\end{array}\right.$，解得a₁=-20，d=4，
∴a_n=-20+4（n-1）=4n-24．
∴S_n=$\frac{n（-20+4n-24）}{2}$=2n²-22n．
（2）數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=3，且b₃=9，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為3．
∴b_n=$_{3}×{3}^{n-3}$=9×3^n-3=3^n-1．
∴c_n=（$\frac{{a}_{n}}{4}+7$）•b_n=$（\frac{4n-24}{4}+7）•{3}^{n-1}$=（n+1）•3^n-1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2×1+3×3+4×3²+…+（n+1）•3^n-1，
3T_n=2×3+3×3²+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ，
∴-2T_n=2+3+3²+…+3^n-1-（n+1）•3ⁿ=1+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（n+1）•3ⁿ=$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+1}{2}$•3ⁿ，
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}•{3}^{n}$-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．