Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄A圓心M與y軸相切，并且與圓C：x²+y²-2x=0外切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）過頂點(diǎn)H（-2，-1）做斜率為k的直線與M的軌跡交于不同兩點(diǎn)A、B，再過定點(diǎn)S（1，0）做斜率為k的直線與M的軌跡交于不同兩點(diǎn)C，D，并且A，B，C，D在y軸的同一側(cè)，試探求$\frac{HA•HB}{CD}$是否為定值，請(qǐng)求出．若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)以點(diǎn)M為圓心的圓與圓x²+y²-2x=0外切且與y軸相切，建立方程，化簡(jiǎn)可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線CD方程為y=tanα（x-1），分別代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），圓C：x²+y²-2x=0的圓心C（1，0），半徑為1，
由題意知$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，化簡(jiǎn)得y²=4x，
故所求點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)出直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
其中k=tanα，設(shè)過S（1，0）即為焦點(diǎn)的直線CD方程為y=tanα（x-1），
將直線AB方程代入y²=4x，可得t²sin²α-t（2sinα+4cosα）+9=0，
即有t₁t₂=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$，即HA•HB=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$，
由直線CD方程代入y²=4x，可得tan²α•x²-x（2tan²α+4）+tan²α=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{2ta{n}^{2}α+4}{ta{n}^{2}α}$，
由拋物線的定義可得CD=x₁+x₂+p=$\frac{2ta{n}^{2}α+4}{ta{n}^{2}α}$+2=$\frac{4（1+ta{n}^{2}α）}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$，
則$\frac{HA•HB}{CD}$=$\frac{9}{si{n}^{2}α}$•$\frac{si{n}^{2}α}{4}$=$\frac{9}{4}$．
則$\frac{HA•HB}{CD}$為定值，且為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查拋物線的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．