Question

19．已知方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，此方程分別表示圓、橢圓、雙曲線？
（2）若命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程 $\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題p：實(shí)數(shù)m滿足m²-7am+12a²＜0（a＜0），且非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方程表示圓時(shí)：分母相等且為正；表示橢圓時(shí)：分母為正且不等；表示雙曲線時(shí)：分母異號(hào)
（2）方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)：在表示橢圓的基礎(chǔ)上還要2-m＞m-1，“非q是非p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”

解答 解：（1）因?yàn)榉匠瘫硎緢A時(shí)，m-1=2-m＞0，即$m=\frac{3}{2}$，所以當(dāng)$m=\frac{3}{2}$時(shí)，此方程表示圓．
因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{2-m＞0}\\{m-1≠2-m}\end{array}\right.$ 即$m∈（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，2）$，所以當(dāng)$m∈（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，2）$時(shí)，此方程表示橢圓．
因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線時(shí)，（m-1）（2-m）＜0，即m＜1或m＞2，所以當(dāng)m＜1或m＞2時(shí)，此方程表示雙曲線．
（2）由${m}^{2}-7am+12{a}^{2}＜0\\;\\;（a＞0）$ （a＞0），則3a＜m＜4a，即命題p：3a＜m＜4a
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}+\frac{{y}^{2}}{2-m}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得：2-m＞m-1＞0，即$1＜m＜\frac{3}{2}$，所以命題q：$1＜m＜\frac{3}{2}$
由非q為非p的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件，從而有：
$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$ 即$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{8}$

點(diǎn)評(píng) （1）本小題主要考查圓錐曲線的共同特征，圓、橢圓、雙曲線的方程特征是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題
（2）本小題考查了兩點(diǎn)：第一點(diǎn)考查焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的方程特征，第二點(diǎn)考查充要條件的簡(jiǎn)單應(yīng)用．本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將“非q是非p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”，也屬于基礎(chǔ)題．