Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC中點(diǎn)，AO交BD于E．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求證：平面PAD⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）PO⊥BC⇒PO⊥平面ABCD，又AO⊥BD⇒PA⊥BD
（2）DC⊥PC，∠BCD=90°，∴∠PCB為二面角P-DC-B的平面角
（3）取PB的中點(diǎn)N⇒CN⊥PB，又平面PBC⊥平面PAB，AB⊥平面PBC⇒CN⊥AB⇒CN⊥平面PAB，又MNCD為平行四邊形⇒DM⊥平面PAB⇒平面PAD⊥平面PAB．
解答：方法一：（1）證明：∵PB=PC，∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB為二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等邊三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小為60°（8分）
（3）證明：取PA，PB的中點(diǎn)M，N，連接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB?平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
連接DM、MN，則由MN∥AB∥CD
MN=AB=CD，得四邊形MNCD為平行四邊形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中點(diǎn)O，因為△PBC是等邊三角形，
由側(cè)面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與
AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
O-xyz（2分）
（1）證明：∵CD=1，則在直角梯形中，AB=BC=2
在等邊三角形PBC中，
∴
∴
∵
∴，即PA⊥BD（4分）
（2）解：取PC中點(diǎn)N，則
∵=（0，2，0），=（1，0，）
∴=（-）×0+0×2+×0=0
=（-）×1+0×0+×=0
∴⊥平面PDC，顯然，且⊥平面ABCD
∴、所夾角等于所求二面角的平面角（6分）∵
∴∴二面角P-DC-B的大小為60°（8分）
（3）證明：取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M的坐標(biāo)為
又（10分）
∴

∴，即DM⊥PA，DM⊥PB
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．
點(diǎn)評：證明面面垂直的方法有兩種，一是利用面面垂直的定義，既證兩平面所成的二面角為直二面角，二是利用面面垂直的判定定理，既證一個平面過另一個平面的一條垂線．