Question

已知函數(shù)f(x)=-2alnx（a>0）
（I)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值.
（II）若方程f（x）=2ax有唯一解，求實(shí)數(shù)a的值.

Answer 1

（I)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，最小值為
（II）

解析試題分析：解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c7/5/1ej124.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
.
⑵設(shè)，
則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e5/7/zjoit1.png" style="vertical-align:middle;" />，令，則，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
又因?yàn)楫?dāng)時均有，
所以有唯一解，
注意到，所以 
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/4/1ddld4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
記，則對于恒成立，
即為增函數(shù)，又，所以，
解之得，為所求.
考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，以及推理能力、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，屬中檔題．