Question

20．已知函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）分別求y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均變化率；
（2）比較兩個(gè)平均變化率的大小，說(shuō)明其幾何意義．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)變化率的定義得出△x，△y，$\frac{△y}{△x}$，
（2）由（1）直接比較即可，其幾何意義為y=sinx隨著x的增大，函數(shù)值的變化越來(lái)越慢．

解答 解：（1）∵正弦函數(shù)y=sinx，
△x=$\frac{π}{6}$，△y=sin$\frac{π}{6}$-sin0=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{π}{6}}$=$\frac{3}{π}$，
△x=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，△y=sin$\frac{π}{2}$-sin$\frac{π}{6}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{π}{3}}$=$\frac{3}{2π}$，
∴y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均變化率分別為$\frac{3}{π}$，$\frac{3}{2π}$
（2）由（1）知，y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均變化率為$\frac{3}{π}$，$\frac{3}{2π}$，
∴$\frac{3}{π}$＞$\frac{3}{2π}$，
∴y=sinx，隨著x的增大，函數(shù)值的變化越來(lái)越慢．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的變化率的運(yùn)用求解，屬于中檔題，計(jì)算較麻煩，注意運(yùn)用算．