Question

5．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且點A（-1，0），B（1，0），動點C滿足$\frac{a+b}{c}$=λ（λ為常數(shù)且λ＞1），動點C的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）試求曲線E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)λ=$\sqrt{3}$時，過定點B（1，0）的直線與曲線E交于P，Q兩點，N是曲線E上不同于P，Q的動點，試求△NPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ＞2，則動點C的軌跡P為橢圓（除去A、B與共線的兩個點）．即可求得求曲線E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)λ=$\sqrt{3}$時，求得橢圓方程，分類討論，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及點到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性區(qū)間，即可求得△NPQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由丨AB丨=2，則丨CA丨+丨CB丨=2λ（定值），且2λ＞2，
∴動點C的軌跡P為橢圓（除去A、B與共線的兩個點）．
設(shè)其標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則a²-λ²b²-λ²=1，
∴求曲線的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}-1}=1$（x≠±λ），
（Ⅱ）當(dāng)λ=$\sqrt{3}$時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x≠±$\sqrt{3}$），．
①過定點B的直線與x軸重合時，△NPQ面積無最大值，
②過定點B的直線不與x軸重合時，
設(shè)l方程為：x=my+1，P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
若m=0，由x≠±$\sqrt{3}$，故此時△NPQ面積無最大值．
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，不妨設(shè)m＞0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（3+2m²）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，則丨PQ丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$丨y₁-y₂丨=$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{3+2{m}^{2}}$．
因為當(dāng)直線l與平行且與橢圓相切時，切點N到直線l的距離最大，
設(shè)切線l：x=my+n（n＜$\sqrt{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得（3+2m²）y²+4mny+2n²-6=0，
由△=（4mn）²-4（3+2m²）（2n²-6）=0，解得：2n²-3+2m²=0，n＜-$\sqrt{3}$．
又點N到直線l的距離d=$\frac{丨n-1丨}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴△NPQ面積S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{3+2{m}^{2}}$×$\frac{丨n-1丨}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{3}丨n-1丨\sqrt{{m}^{2}+1}}{3+2{m}^{2}}$，
∴S²=$\frac{12（n-1）^{2}（{m}^{2}+1）}{（3+2{m}^{2}）^{2}}$．將n²=3+2m²，代入得：S²=6（1-$\frac{1}{n}$）²（1-（$\frac{1}{n}$）²），
令t=$\frac{1}{n}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），設(shè)函數(shù)f（t）=6（1-t）²（1-t²），則f′（t）=-12（t-1）²（2t+1），
由當(dāng)t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）時，f′（t）＞0，當(dāng)t∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，f′（t）＜0，
∴f（t）在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，0）上是減函數(shù)，
∴f_min（t）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{81}{8}$．
故m²=$\frac{1}{2}$時，△NPQ面積最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∴當(dāng)l的方程為x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1時，△NPQ的面積最大，最大值為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．