Question

【題目】如圖，已知拋物線，為的焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，且與軸的交點(diǎn)為.過(guò)點(diǎn)任意作一條直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）若 ,求證：;

（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，為奇質(zhì)數(shù)，且點(diǎn)到軸的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為非零整數(shù).求證：點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不可能是整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為.代入，得 ①

設(shè)，則、是方程①的兩個(gè)根，有，.

由，得.

因?yàn)?/span>

又 ，，，所以

.

故.

（2）設(shè).依題意均為非零整數(shù).

由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則. ②

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以

. ③

由式②、③消去，得

④

假設(shè)為正整數(shù)，則

⑤

因?yàn)?/span>為奇質(zhì)數(shù)，由式④知，，從而.

于是，由式⑤知.

令，， ，則

.

消去，得，即

.

又與有相同的奇偶性，且，所以，

解得，.

從而，.于是，，這與為正整數(shù)矛盾.

故點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不可能是整數(shù).