Question

11．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{a}{e^x}$．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值為$\frac{3}{2}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是R，且f′（x）=1+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}}$，
a=-1時，f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$，
由f′（x）＞0，得x∈（0，+∞），由f′（x）＜0，得x∈（-∞，0），
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{{e}^{x}+a}{{e}^{x}}$，
①若a≥-1，則e^x+a≥0，即f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，
f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=-a=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$（舍）；
②若a≤-e，則 e^x+a≤0，即f′（x）≤0在（0，1]恒成立，
f（x）在[0，1]遞減，
∴f（x）_min=f（1）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\frac{e}{2}$（舍）；
③若-e＜a＜-1，當0＜x＜ln（-a）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，ln（-a））遞減，
當ln（-a）＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（ln（-a），1）遞增；
∴f（x）_min=f（ln（-a））=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，
∴a=-$\sqrt{e}$，
綜上所述：a=-$\sqrt{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．