Question

1．過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)雨點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若|AB|=7，求AB的中點(diǎn)M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離．

Answer 1

分析 物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x=-1，由拋物線(xiàn)的定義可得|AB|=7=（x₁+1）+（x₂+1），求得 x₁+x₂ 的值，由此求得點(diǎn)M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+1的值．

解答 解：由拋物線(xiàn)的方程y²=4x可得p=2，故它的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x=-1．
由拋物線(xiàn)的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=x₁+x₂+p=7，
∴x₁+x₂=5．
由于AB的中點(diǎn)M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
AB的中點(diǎn)M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．