Question

19．設(shè)x₁，x₂∈R，函數(shù)f（x）滿足e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，若f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁+x₂）最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由條件求得f（x）的解析式，再由f（x₁）+f（x₂）=1，可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+3，運(yùn)用基本不等式可得${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：由e^x=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，可得
f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
由f（x₁）+f（x₂）=1，可得$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{1}}}$+$\frac{1}{1+{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即為${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$+3，由${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
即有${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$+3，
解得$\sqrt{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$≥3，
即為${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂，取得等號(hào)，
則f（x₁+x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1}$≥1-$\frac{2}{9+1}$=$\frac{4}{5}$．
即有最小值為$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．