Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+2=4a_n+1-4a_n，且a₁=1，a₂=6．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，得到a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即可說(shuō)明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）中的等比數(shù)列求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后構(gòu)造等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后得答案．

解答 （1）證明：由a_n+2=4a_n+1-4a_n，得
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵a₁=1，a₂=6，∴a₂-2a₁=6-2=4≠0，
則$\frac{{a}_{n+2}-2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}=2$，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}=2$．
∴數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，$_{n}=_{1}•{q}^{n-1}=4•{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
即a_n+1-2a_n =2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1$，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+1×（n-1）=n-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=（n-\frac{1}{2}）•{2}^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系與等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．