如圖,ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,AA1⊥底面ABCD,ABCD,AB⊥AD,AD=CD=AA1=1,AB=2.
(1)求證:A1C1⊥平面BCC1B1;
(2)求平面A1BD與平面BCC1B1所成二面角的大小.
(1)AA1⊥底面ABCD,所以CC1⊥A1C1…(1分),
取A1B1的中點E,連接EC1,
則四邊形A1EC1D1是正方形,A1C1E=
π
4
…(3分),
又∵B1E=C1E=1,B1C1E=
π
4

A1C1B1=
π
2
,即A1C1⊥B1C1…(4分),
∵CC1∩B1C1=C1,∴A1C1⊥平面BCC1B1…(5分).
(2)以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示…(6分),
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),
A1(1,0,1),C1(0,1,1)…(7分),
DA1
=(1,0,1)
,
DB
=(1,2,0)
A1C1
=(-1,1,0)
…(8分),
由(1)知,平面BCC1B1的一個法向量為
n1
=
A1C1
=(-1,1,0)
…(9分),
設(shè)平面A1BD的一個法向量為
n2
=(a,b,c)
,
n2
DB
=0
n2
DA1
=0
,即
a+2b=0
a+c=0
…(11分),
設(shè)b=1,則a=-2,c=2,可得
n2
=(-2,1,2)
…(12分),
因此所求二面角大小為θ,滿足cosθ=
|
n1
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2
,
結(jié)合θ∈[0,π],可得所求二面角的大小為
π
4
…(14分).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知為空間四邊形的邊上的點,且.求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與平面α所成的角為
π
4
,過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A′、B′,若AB=3A'B',則AB與平面β所成的角的正弦值是(  )
A.
14
6
B.
5
5
C.
22
6
D.
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直,AD⊥AB,BC⊥AB,AB=BC=2,AD=1.若E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點.
(1)求|
SC
+
SD
|的值;
(2)求面SCD與面SAB所成的二面角大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,∠BCD=60°,PA=PD=
2
,E是BC中點,點Q在側(cè)棱PC上.
(Ⅰ)求證:AD⊥PB;
(Ⅱ)若Q是PC中點,求二面角E-DQ-C的余弦值;
(Ⅲ)若
PQ
PC
,當(dāng)PA平面DEQ時,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,ABCD,AD⊥AB,AD=AB=
1
2
CD=1,PD⊥面ABCD,PD=
2
,E是PC的中點
(1)證明:BE面PAD;
(2)求二面角E-BD-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點D在線段AC上,DE⊥AB于E,現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖(2)).
(Ⅰ)求證:PB⊥DE;
(Ⅱ)若PE⊥BE,直線PD與平面PBC所成的角為30°,求PE長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=
2
,點E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在一點F,使得BF平面ACE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.
(Ⅰ)求證:A1B平面ADC1;
(Ⅱ)求二面角C1-AD-C的余弦值;
(Ⅲ)試問線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定E點位置,若不存在,說明理由.

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