如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=
2
,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使得BF平面ACE.
(1)正方形ABCD邊長為1,PA=1,PB=PD=
2

所以,∠PAB=∠PAD=90°,即PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,
根據(jù)直線和平面垂直的判定定理,
有PA⊥平面ABCD.
(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB、AD、AP分別x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
AC
=(1,1,0)
,
AE
=(0,
2
3
1
3
)
,
由(1)知
AP
為平面ACD的法向量,
AP
=(0,0,1)
,
設(shè)平面ACE的法向量為
n
=(a,b,c)

a+b=0
2
3
b+
1
3
c=0

令c=6,則b=-3,a=3,
n
=(3,-3,6)
,…(4分)
設(shè)二面角D-AC-E的平面角為θ,則|cosθ|=
|
n
AP
|
|
n
||
AP
|
=
6
3
,
又有圖可知,θ為銳角,
故所求二面角的余弦值為
6
3

(3)設(shè)
PF
PC
(λ∈[0,1])
,則
PF
=λ(1,1,-1)=(λ,λ,-λ)
,
BF
=
BP
+
PF
=(λ-1,λ,1-λ)
,
若BF平面ACE,則
BF
n
,即
BF
n
=0
,(λ-1,λ,1-λ)•(3,-3,6)=0,
計(jì)算得λ=
1
2

所以,存在滿足題意的點(diǎn),即當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF平面ACE.…(8分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別為A1B1、B1C1、C1D1的中點(diǎn).
(1)求異面直線AG與BF所成角的余弦值;
(2)求證:AG平面BEF;
(3)試在棱BB1上找一點(diǎn)M,使DM⊥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,AA1⊥底面ABCD,ABCD,AB⊥AD,AD=CD=AA1=1,AB=2.
(1)求證:A1C1⊥平面BCC1B1;
(2)求平面A1BD與平面BCC1B1所成二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,己知平行四邊形ABCD中,∠BAD=60°,AB=6,AD=3,G為CD中點(diǎn),現(xiàn)將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG.
(I)求證:直線CE直線BF;
(II)若直線GE與平面ABCD所成角為
π
6

①求證:FG⊥平面ABCD:
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,ADBC,∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,AD=1.
(Ⅰ)求證:BC⊥平面PAB;
(Ⅱ)求異面直線PC與AB所成角的余弦值;
(Ⅲ)在側(cè)棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得平面CDE與平面ADC所成角的余弦值是
2
3
,若存在,求出AE的長;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AN平面MEC;
(Ⅱ)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為
π
6
?若存在,求出AP的長h;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖直角梯形OABC中,∠COA=∠AOB=90°,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,分別以O(shè)C,OA,OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz.
(Ⅰ)求
SC
OB
夾角的余弦值;
(Ⅱ)求OC與平面SBC夾角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在長方體AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
,點(diǎn)E、F分別是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求異面直線AF和BE所成的角;
(2)求直線AF和平面BEC所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知為平行四邊形,若向量,則向量為(   )
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊答案