Question

15．已知橢圓$\frac{y^2}{9}$+x²=1，過(guò)點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為（　�。�

• A． 9x+y-5=0
• B． 9x-y-4=0
• C． 2x+y-2=0
• D． x+y-5=0

Answer 1

分析 將A和B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減求得：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，由中點(diǎn)弦公式及直線的斜率公式，求得直線斜率，代入點(diǎn)斜式方程，即可求得直線AB的方程．

解答 解：直線AB與橢圓$\frac{y^2}{9}$+x²=1相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減：$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=1   y₁+y₂=1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴直線AB的方程為y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：9x+y-5=0，
故答案為：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)弦公式，直線的點(diǎn)斜式方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．