Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，$\frac{^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$，且$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$．
（1）求角A；
（2）若a=2，當(dāng)sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值時，求B和b．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，結(jié)合cosB≠0，可得sin2A=1，利用正弦函數(shù)的圖象可得A的值．
（2）由（1）可得B+C=$\frac{3π}{4}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），利用B的范圍可求$\frac{5π}{12}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時，sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值，進(jìn)而利用正弦定理可求b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵由余弦定理可得：$\frac{^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{-2accosB}{ac}$=-2cosB，
∴-2cosB=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，
∵$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，可得：cosB≠0，
∴sin2A=1，
∴A=$\frac{π}{4}$，…6分
（2）由（1）可得B+C=$\frac{3π}{4}$，
∵sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）=sinB+cos（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，可得：$\frac{5π}{12}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$時，sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值，…10分
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{6}$…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．