Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}$x²+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求關(guān)于x的不等式f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)為二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由題意可得$\frac{3}{2}$x²+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即為-a＜$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在0＜x＜2恒成立，求出y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0，即為3x²+2ax-a²＞0，即（x+a）（3x-a）＞0，對(duì)a討論，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式f（x）＜3，
即為$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1＜3，即3x²+x-4＜0，
解得-$\frac{4}{3}$＜x＜1，
則原不等式的解集為（-$\frac{4}{3}$，1）；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立，
即有$\frac{3}{2}$x²+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，
即為-a＜$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$在0＜x＜2恒成立，
由y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得函數(shù)y在（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）遞減，（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，2）遞增，
則y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{x}$的最小值為2$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有-a＜$\sqrt{6}$，解得a＞-$\sqrt{6}$；
（Ⅲ）f（x）-$\frac{1}{2}$a²-1＞0，
即為3x²+2ax-a²＞0，
即（x+a）（3x-a）＞0，
當(dāng)a=0時(shí)，即為x²＞0，解集為{x|x≠0}；
當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{a}{3}$＞-a，解集為{x|x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a}；
當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{a}{3}$＜-a，解集為{x|x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式的解法和恒成立問(wèn)題的解法，考查分類討論和參數(shù)分離，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．