Question

19．設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=2e^x上，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)y=lnx-ln2上，則|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$（1+ln2）．

Answer 1

分析 考慮到兩曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線(xiàn)y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線(xiàn)上斜率為1的切線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得到最小值．

解答 解：∵y=2e^x與y=lnx-ln2互為反函數(shù)，
先求出曲線(xiàn)y=2e^x上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的最小距離．
設(shè)與直線(xiàn)y=x平行且與曲線(xiàn)y=2e^x相切的切點(diǎn)P（x₀，y₀）．
y′=2e^x，
∴2e${\;}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=ln$\frac{1}{2}$=-ln2，
∴y₀=2e${\;}^{ln\frac{1}{2}}$=1．
得到切點(diǎn)P（-ln2，1），
到直線(xiàn)y=x的距離d=$\frac{|-ln2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+ln2），
可得丨PQ丨的最小值為2d=$\sqrt{2}$（1+ln2），
故答案為：$\sqrt{2}$（1+ln2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．