Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用f（1）=2，求得a的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)遞增．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$，且f（1）=1+a=2，∴a=1．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 的定義域{x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$ 在（1，+∞）上單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)1＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}-1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
由題設(shè)可得，x₁-x₂＜0，$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}-1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的值，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．