Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，若（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的取值范圍是（　　）

• A． [1，2]
• B． [2，4]
• C． [$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]
• D． [$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$+1]

Answer 1

分析 由數(shù)量積運(yùn)算展開，兩邊再平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的范圍，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$²=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1|=|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，
兩邊平方得：（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1≤${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=10+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴-3≤$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤3，
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=10-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴4≤|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²≤16，
∴2≤|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|≤4．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．