Question

利用函數(shù)f（x）=（

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）^x+（

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）^x（x∈R）是減函數(shù)可以求方程（

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）^x+（

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）^x=1的解．由f（2）=1可知原方程有唯一解x=2，類比上述思路可知不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：計算題,推理和證明

分析：不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²等價為x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）．類比（

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）^x+（

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）^x=1，求方程的解的解題思路，設(shè)f（x）=x³+x，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)原方程可得x²＞x+2，解之即得x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集．

解答： 解：∵不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²等價為x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2）．
∴設(shè)f（x）=x³+x，
則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
由x⁶+x²＞（x+2）³+（x+2），
即（x²）³+x²＞（x+2）³+（x+2），
∴x²＞x+2，
解得x＜-1或x＞2．
∴不等式x⁶-（x+2）＞（x+2）³-x²的解集是{x|x＜-1或x＞2}．
故答案為：{x|x＜-1或x＞2}．

點評：本題主要考查了類比推理，考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力．