Question

《中國(guó)好聲音》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下燦星制作強(qiáng)力打造的大型勵(lì)志專業(yè)音樂(lè)評(píng)論節(jié)目，于2012年7月13日正式在浙江衛(wèi)視播出，每期節(jié)目均由四位導(dǎo)師組成，導(dǎo)師背對(duì)歌手，當(dāng)每位參賽選手喝完之前有導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身，則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的老師的團(tuán)隊(duì)中接受指導(dǎo)訓(xùn)練，已知某期《中國(guó)好聲音》中，6位選手演唱完后，四位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身情況如下表所示：

導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)（人）	4	3	2	1
獲得相應(yīng)導(dǎo)師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)（人）	1	2	2	1

現(xiàn)從6位選手中隨機(jī)抽取兩人考察他們演唱完后導(dǎo)師轉(zhuǎn)身情況．
（1）求選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4的概率．
（2）記選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)之和為x，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4包含兩種情況：①導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為3人的兩人中選一人和導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為1人的選手，②導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為2人的選手全選．由此能求出選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4的概率．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出x的分布列及數(shù)學(xué)期望E（x）．

解答： 解：（1）選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4包含兩種情況：
①導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為3人的兩人中選一人和導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為1人的選手，
②導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)為2人的選手全選．
∴選出的2人導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人數(shù)和為4的概率為：
P=

C 1 2 C 1 1 + C 2 2

C 2 6

=

1

5

．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，6，7，
P（X=3）=

C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

2

15

，
P（X=4）=

C 1 2 C 1 1 + C 2 2

C 2 6

=

1

5

，
P（X=5）=

C 1 2 C 1 2 + C 1 1 C 1 1

C 2 6

=

1

3

，
P（X=6）=

C 2 2 + C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

1

5

，
P（X=7）=

C 1 1 C 1 2

C 2 6

=

2

15

，
∴X的分布列為：

X	3	4	5	6	7
P	2 15	1 5	1 3	1 5	2 15

E（X）=3×

2

15

+4×

1

5

+5×

1

3

+6×

1

5

+7×

2

15

=

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．