Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱垂直于底面）中，BC⊥AB，且AA₁=AB=2．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）當BC=2時，求直線AC與平面A₁BC所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明BC⊥AB₁，A₁B⊥AB₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明AB₁⊥平面A₁BC．
（2）解法一：設(shè)AB₁∩A₁B=O，連結(jié)CO，說明∠ACO就是直線AC與平面A₁BC所成的角θ，在Rt△AOC中，求解直線AC與平面A₁BC所成的角．
解法二：由（1）知以B為原點建立如圖所示坐標系B-xyz，設(shè)BC=x，求出B，A，C，A₁，求出

AC

=（2，-2，0），

AB1

，直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答： 解：（1）證明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱垂直于底面）中，BC⊥AB，且AA₁=AB=2．

∴A₁A⊥面ABC，…..（1分），BC?面ABC
∴A₁A⊥BC …..（2分）
又∵BC⊥AB…..（3分），
AB∩AA₁=A，
∴BC⊥平面AA1

B

1

B，（4分）
平面AB₁?平面ABB₁A，
∴BC⊥AB₁，（5分）
∵四邊形A₁ABB₁是正方形，
∴A₁B⊥AB₁…..（6分）
又∵BC∩A₁B=B，AB₁⊥平面A₁BC；…..（7分）
（2）解法一：設(shè)AB₁∩A₁B=O，連結(jié)CO_…（8分），
∵BC⊥平面A₁ABB₁
．則∠ACO就是直線AC與平面A₁BC所成的角θ…（10分）
∵BC=2，∵AO=

1

2

AB1=

2

；sin∠ACO=sinθ=

AO

AC

…..（11分）
∴AC═2

2

，AO=

2

…..（12分）
在Rt△AOC中，sinθ=

1

2

，∴θ=

π

6

…..（13分）∴BC的長為2時，直線AC與平面A₁BC所成的角為

π

6

．…..（14分）
解法二：由（1）知以B為原點建立如圖所示坐標系B-xyz，_…（8分），
設(shè)BC=x，則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0）A₁（0，2，2），_…（10分），
由（1）知AB₁⊥平面A₁BC_，…（11分），
B₁（0，0，2），

AB1

=（0，-2，2），…（12分），
∵直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜

AC

，

AB1

＞|=|

AC• AB1

|AC || AB1

|=

1

2

，…（13分）
即BC的長為2時，直線AC與平面A₁BC所成的角為

π

6

．…..（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查計算能力以及邏輯推理能力．