Question

19．如果實(shí)數(shù)x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y+1≥0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$，且z=ax+by（a＞0，b＞0）存在最大值9，則2a²+b²的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 作出可行域，平移目標(biāo)直線取最值可得4a+b=9，可得0＜a＜$\frac{9}{4}$，消元可得2a²+b²=18a²-72a+81，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{x+y+1≥0}\\{x-2y-2≤0}\end{array}\right.$所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影），
變形目標(biāo)函數(shù)可得y=-$\frac{a}$x+$\frac{1}$z，
平移目標(biāo)直線可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，1）時(shí)，z取最大值，
∴z_max=4a+b=9，由a＞0，b＞0可得b=9-4a＞0，
解得a＜$\frac{9}{4}$，故0＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴2a²+b²=2a²+（9-4a）²=18a²-72a+81，
由二次函數(shù)可知當(dāng)a=-$\frac{-72}{2×18}$=2時(shí)，上式取最小值9
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．