Question

7．設(shè)整數(shù)a，b，c與實(shí)數(shù)r滿足：ar²+br+c=0，ac≠0，證明：$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是無理數(shù)．

Answer 1

分析 由條件得b²-4ac≥0，設(shè)r=$\frac{-b+m}{2a}$，其中m²=b²-4ac，m≠±b；假設(shè)$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理數(shù)q，記s=2aq∈Q，先判斷出m是無理數(shù)，從而可推出b=0；從而化簡(jiǎn)可得s²+1=m²+4a²c²+1=（2ac-1）²，故s=0，與s≠0矛盾；從而證明．

解答 證明：由條件得，b²-4ac≥0，設(shè)r=$\frac{-b+m}{2a}$，其中m²=b²-4ac，
∵ac≠0，∴m≠±b；
假設(shè)$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是有理數(shù)q，記s=2aq∈Q，
則s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²＞0，
若m∈Z，則s∈Z，
而4s²=4（m-b）²+（4ac）²=4（m-b）²+（b²-m²）²=（m-b）²（4+（m+b）²），
故4+（m+b）²是平方數(shù)，
故m+b=0，與m≠±b相矛盾；
故m∉Z，不妨設(shè)m=$\frac{p}{q}$（p與q互質(zhì)）；
m²=$\frac{{p}^{2}}{{q}^{2}}$∉Z，而b²-4ac∈Z，
故m²=b²-4ac不成立；故矛盾；
故m是無理數(shù)，
又由s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²＞0知，
2mb=m²+b²+4a²c²-s²∈Q，
故b=0；
故s²+1=m²+4a²c²+1=（2ac-1）²，
故s=0，故與s≠0矛盾；
故$\sqrt{{r}^{2}+{c}^{2}}$是無理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反證法的應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造s=2aq．