Question

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）經(jīng)過圓：上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).

（i）當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，記直線，的斜率分別為，.求證：；

（ii）求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）把點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）（i）設(shè)點(diǎn) ,寫出切線方程，聯(lián)立方程組，再由，結(jié)合韋達(dá)定理，寫出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得出結(jié)果;

（ii）設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而求得直線和的直線方程，結(jié)合兩條直線的形式，可寫出直線的方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求得，結(jié)合的范圍，可求得的取值范圍.

（Ⅰ）∵橢圓的左焦點(diǎn)，∴.

將代入，得.

又，∴，.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）（i）設(shè)點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

由已知，則.

又，∴.

（ii）設(shè)點(diǎn)，.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

則.

∴直線的方程為.

化簡(jiǎn)，可得，即.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，也滿足.

同理，可得直線的方程為.

∵在直線，上，∴，.

∴直線的方程為.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又由（i）可知當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，；易知當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，也有.

∴為圓的直徑，即.

∴.

又，∴.

∴的取值范圍為.