【題目】已知,函數(shù),其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)證明:函數(shù)上有唯一零點(diǎn);

(Ⅱ)記x0為函數(shù)上的零點(diǎn),證明:

(ⅰ);

(ⅱ)

【答案】I)證明見解析,(II)(i)證明見解析,(ii)證明見解析.

【解析】

I)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明結(jié)論;

II)(i)先根據(jù)零點(diǎn)化簡不等式,轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立,構(gòu)造差函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性確定最值,即可證得不等式;

ii)先根據(jù)零點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化:,再根據(jù)放縮,轉(zhuǎn)化為證明不等式,最后構(gòu)造差函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.

I上單調(diào)遞增,

,

所以由零點(diǎn)存在定理得上有唯一零點(diǎn);

II)(i,

一方面: ,

單調(diào)遞增,,

,

另一方面:

所以當(dāng)時,成立,

因此只需證明當(dāng),

因?yàn)?/span>

當(dāng)時,,當(dāng)時,,

所以

單調(diào)遞減,,,

綜上,.

ii,

,,

,因?yàn)?/span>,所以,

,

只需證明,

即只需證明

,

,即成立,

因此.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)求;

3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為上一點(diǎn),直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則=

A.B.

C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線的交線為直線

1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;

2)直線軸交于點(diǎn),與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校舉辦的體育節(jié)設(shè)有投籃項(xiàng)目.該項(xiàng)目規(guī)定:每位同學(xué)僅有三次投籃機(jī)會,其中前兩次投籃每投中一次得1分,第三次投籃投中得2分,若不中不得分,投完三次后累計(jì)總分.

1)若甲同學(xué)每次投籃命中的概率為,且相互不影響,記甲同學(xué)投完三次后的總分為X,求隨機(jī)變量X的概率分布列;

2)若(1)中的甲同學(xué)邀請乙同學(xué)一起參加投籃項(xiàng)目,已知乙同學(xué)每次投籃命中的概率為,且相互不影響,甲、乙兩人之間互不干擾.求甲同學(xué)的總分低于乙同學(xué)的總分的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知O為原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為HP為拋物線C上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn),已知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為5.

1)求C的方程;

2)過C的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若以AH為直徑的圓過B,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn),四邊形DEFG為矩形,BCDG,垂足為C,tanODC=,EF=12 cm,DE=2 cmA到直線DEEF的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為________cm2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)經(jīng)過圓上一動點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)兩點(diǎn).

i)當(dāng)直線,的斜率都存在時,記直線,的斜率分別為.求證:;

ii)求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線t為參數(shù)),曲線,(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線,的極坐標(biāo)方程;

2)射線分別交,A,B兩點(diǎn),求的最大值.

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