【題目】已知函數(shù),證明.

1存在唯一的極小值點(diǎn);

2的極小值點(diǎn)為.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并二次求導(dǎo),即設(shè),,結(jié)合余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出當(dāng),恒成立,即可判斷出上的單調(diào)性,由零點(diǎn)存在定理可求出在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn),進(jìn)而可證明結(jié)論.

(2),,由零點(diǎn)存在定理可得極小值點(diǎn),進(jìn)而可得,結(jié)合三角恒等變換可得,由正弦三角函數(shù)可求出.

解:(1,設(shè),則

當(dāng)時(shí),,所以.

當(dāng)時(shí),,

綜上所述,當(dāng),恒成立,

上單調(diào)遞增.

,由零點(diǎn)存在定理可知,

函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn),

結(jié)合單調(diào)性可得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)存在唯一極小值點(diǎn).

2)由(1)知,,

,而,所以,

,,故極小值點(diǎn),

,即,由式,得

.,

,所以,即.

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1)若甲同學(xué)每次投籃命中的概率為,且相互不影響,記甲同學(xué)投完三次后的總分為X,求隨機(jī)變量X的概率分布列;

2)若(1)中的甲同學(xué)邀請(qǐng)乙同學(xué)一起參加投籃項(xiàng)目,已知乙同學(xué)每次投籃命中的概率為,且相互不影響,甲、乙兩人之間互不干擾.求甲同學(xué)的總分低于乙同學(xué)的總分的概率.

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【題目】3世紀(jì)中期,我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)變得很大時(shí),等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想,可得到sin3°的近似值為( (取近似值3.14)

A.0.012B.0.052

C.0.125D.0.235

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(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)經(jīng)過(guò)圓上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線分別與圓相交于異于點(diǎn),兩點(diǎn).

i)當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),記直線的斜率分別為,.求證:;

ii)求的取值范圍.

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A.;

B.存在某個(gè)位置,使;

C.,則的長(zhǎng)是定值;

D.,則四面體的體積最大值為

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1)若,求h(x)的表達(dá)式;

2)若,求k的取值范圍;

3)若求證:

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1)求軌跡C的方程;

2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與軌跡C相交于M,N兩點(diǎn),求證:直線,的交點(diǎn)在直線.

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