Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x
（1）求f（x）在R上的解析式
（2）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當x＜0時，-x＞0，結(jié)合當x≥0時，f（x）=x²-2x，可求出當x＜0時f（x）的解析式，進而得到f（x）在R上的解析式，
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別求出當x≥0時和當x＜0時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，最后綜合討論結(jié)果可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，
由當x≥0時，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x，
∴f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

（2）∵f（x）=x²-2x的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，
故當x≥0時，f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)．
又∵f（x）=-x²-2x的圖象是開口朝下，且以直線x=-1為對稱軸的拋物線，
故當x＜0時，f（x）在（-∞，-1）為增函數(shù)．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)，是解答的關鍵．