Question

11．已知扇形OAB的周長是60cm，
（Ⅰ）若其面積是20cm²，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)；
（Ⅱ）求扇形OAB的最大面積及此時(shí)弦長AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長與半徑，通過扇形的周長與面積，即可求出扇形的弧長與半徑，進(jìn)而根據(jù)弧長公式求出扇形圓心角的弧度數(shù)．
（Ⅱ）扇形周長為60cm，設(shè)弧長為l，半徑為r，由已知l+2r=60，表示出扇形面積，利用二次函數(shù)求解最大面積，求得此時(shí)r，圓心角α的值，即可得解弦長．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)扇形的弧長為：l，半徑為r，則2r+l=60，
∵S_扇形=$\frac{1}{2}$lr=20，
解得：r=20，l=2，或r=10，l=4，
∴r=20，l=2時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是：$\frac{1}{10}$．
r=10，l=4時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是：$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）設(shè)弧長為l，半徑為r，由已知l+2r=60，
所以l=60-2r，|α|=$\frac{l}{r}$=$\frac{60-2r}{r}$，
從而S=$\frac{1}{2}$|α|r²=$\frac{1}{2}$•$\frac{60-2r}{r}$•r²=-r²+30r=-（r-15）²+225，
當(dāng)r=15時(shí)，S最大值為225，這時(shí)圓心角α=$\frac{l}{r}$=$\frac{60-2r}{r}$=2，可得：AB=2×15×sin1=30sin1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查扇形的周長與扇形的面積公式的應(yīng)用，以及考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，此題屬于基礎(chǔ)題型．