Question

5．設函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），則函數(shù)f（x）是（　　）

• A． 偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)
• B． 奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)
• C． 偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)
• D． 奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，首先分析函數(shù)的奇偶性，先求出函數(shù)的定義域，進而計算可得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；再分析函數(shù)的單調性，先由對數(shù)的運算性質可得f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，令t=$\frac{1+x}{1-x}$，則y=lgt，由復合函數(shù)的單調性判斷方法分析可得函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
有$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解可得-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
f（-x）=lg[1+（-x）]-lg[1-（-x）]=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
而f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，
令t=$\frac{1+x}{1-x}$，則y=lgt，
當x∈（0，1）時，t=$\frac{1+x}{1-x}$=-$\frac{2}{x-1}$-1，為增函數(shù)；
而y=lgt為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調性的判斷，分析奇偶性時需要先分析函數(shù)的定義域．