Question

某中學(xué)在高一開設(shè)了數(shù)學(xué)史等4門不同的選修課，每個(gè)學(xué)生必須選修，且只能從中選一門．該校高一的3名學(xué)生甲、乙、丙對(duì)這4門不同的選修課的興趣相同．
（Ⅰ）求3個(gè)學(xué)生選擇了3門不同的選修課的概率；
（Ⅱ）求恰有2門選修課這3個(gè)學(xué)生都沒有選擇的概率；
（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量ξ為甲、乙、丙這三個(gè)學(xué)生選修數(shù)學(xué)史這門課的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）這是一個(gè)古典概型問題，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是4³，滿足條件的事件數(shù)是A₄³，代入古典概型公式得到結(jié)果．
（2）本題的總是件數(shù)同前面，滿足條件的事件數(shù)是C₄²C₃²A₂²，代入公式得到結(jié)果．
（3）某一選擇修課這3個(gè)學(xué)生選擇的人數(shù)為0，1，2，3，類似于前面所說，求出各種不同情況下對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理總事件數(shù)是4³，
滿足條件的事件數(shù)是A₄³，
∴3個(gè)學(xué)生選擇了3門不同的選修課的概率：P₁=

A 3 4

43

=

3

8

（Ⅱ）恰有2門選修課這3個(gè)學(xué)生都沒有選擇的概率：P2=

C 2 4 C 1 3 A 2 2

43

=

9

16

（Ⅲ）設(shè)某一選擇修課這3個(gè)學(xué)生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=

33

43

=

27

64

；
P（ξ=1）=

C 1 3 32

43

=

27

64

；
P（ξ=2）=

C 2 3 •3

43

=

9

64

；
P（ξ=3）=

1

43

=

1

64

．
∴ξ的分布列為：

∴期望Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．