Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2x+1}$，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=$\frac{1}{2}$，S_n+1=f（S_n）（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)T_n=S₁²+S₂²+…+S_n²，當(dāng)n≥2時，求證：4T_n＜2-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：S_n+1=f（S_n）=$\frac{{S}_{n}}{2{S}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=2，利用等差數(shù)列的通項公式可得：S_n=$\frac{1}{2n}$．再利用遞推關(guān)系可得：a_n．
（2）${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，n≥2時，${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：S_n+1=f（S_n）=$\frac{{S}_{n}}{2{S}_{n}+1}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為2，公差為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，解得S_n=$\frac{1}{2n}$．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n-1）}$=-$\frac{1}{2n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{-1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）證明：${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，n≥2時，${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}$，
即4T_n＜2-$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題