Question

16．已知點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上任意一點，A、B分別是雙曲線的左右頂點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為（　　）

• A． -3
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，由雙曲線的方程可得a=2，求出A，B的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線的范圍，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}$-n²=1，
可得n²=$\frac{{m}^{2}}{4}$-1，
由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得a=2，
即有A（-2，0），B（2，0），
可得$\overrightarrow{PA}$=（-2-m，-n），$\overrightarrow{PB}$=（2-m，-n），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-2-m）（2-m）+n²
=m²+n²-4=m²+$\frac{{m}^{2}}{4}$-5
=$\frac{5}{4}$m²-5，
由雙曲線的性質(zhì)可得，|m|≥2，
即有$\frac{5}{4}$m²-5≥$\frac{5}{4}$×4-5=0，
當(dāng)m=±2時，取得最小值0．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是方程的運用和范圍，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及運算能力，屬于中檔題．