Question

15．在銳角△ABC中，B=60°，|${\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}}$|=2，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍為（　　）

• A． （0，12）
• B． [${-\frac{1}{4}$，12）
• C． （0，4]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，得到C的坐標(biāo)，找出三角形為銳角三角形的A的位置，得到所求范圍．

解答 解：以B為原點(diǎn)，BA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，
∵B=60°，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，
∴C（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)A（x，0）
∵△ABC是銳角三角形，
∴A+C=120°，∴30°＜A＜90°，
即A在如圖的線段DE上（不與D，E重合），
∴1＜x＜4，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的范圍為（0，12）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的模長(zhǎng)公式，利用解析法建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求數(shù)量積范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．