如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=
3
，AD=2
2
，P為C1D1的中點，M為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD與平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大�。�
（Ⅰ）以D點為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz…（1分）
可得D(0，0，0)，P(0，1，
3
)，C(0，2，0)，A(2
2
，0，0)，M(
2
，2，0)．
∴
PM
=(
2
，2，0)-(0，1，
3
)=(
2
，1，-
3
)，
AM
=(
2
，2，0)-(2
2
，0，0)=(-
2
，2，0)，
由此可得
PM
•
AM
=(
2
，1，-
3
)•(-
2
，2，0)=0，
即
PM
⊥
AM
，可得AM⊥PM．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)平面PAM的一個法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
PM
=0
n
•
AM
=0
，即
2
x+y-
3
z=0
-
2
x+2y=0
解得
z=
3
y
x=
2
y
，
取y=1，得
n
=(
2
，1，
3
)，…（6分）
∴AD與平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜
DA
，
n
＞|=
|
DA
•
n
|
|
DA
||
n
|
=
|(2
2
，0，0)•(
2
，1，
3
)|
2
2
(
2
)2+12+(
3
)2
=
3
3
．…（9分）
（Ⅲ）由（II），向量
n
=(
2
，1，
3
)是平面PAM的一個法向量，
∵平面AMD的法向量為
m
=(0，0，1)，可得cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
3
6
=
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如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點.
求證：MN∥平面A1BD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線，則直線至多可以確定平面的個數(shù)為      （   ）
A．1 B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　�。�
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
（1）求二面角C-SB-A的大小；
（2）P為棱SB上的點，當(dāng)SP的長為何值時，CP⊥SA？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．
（1）求|
SC
+
SD
|的值；
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=
1
2
CD=1，PD⊥面ABCD，PD=
2
，E是PC的中點
（1）證明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B1E-A1的大小為30°，求AB的長．

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