如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小為30°,求AB的長(zhǎng).
(I)以A為原點(diǎn),
AB
AD
,
AA1
的方向?yàn)閄軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(
a
2
,1,0),B1(a,0,1)
AD1
=(0,1,1),
B1E
=(-
a
2
,1,-1),
AB1
=(a,0,1),
AE
=(
a
2
,1,0),
AD1
B1E
=1-1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,t),使得DP平面B1AE.此時(shí)
DP
=(0,-1,t).
又設(shè)平面B1AE的法向量
n
=(x,y,z).
n
⊥平面B1AE,∴
n
⊥B1A,
n
⊥AE,得
ax+z=0
ax
2
+y=0
,取x=1,得平面B1AE的一個(gè)法向量
n
=(1,-
a
2
,-a).
要使DP平面B1AE,只要
n
DP
,即有
n
DP
=0,有此得
a
2
-at=0,解得t=
1
2
,即P(0,0,
1
2
),
又DP?平面B1AE,
∴存在點(diǎn)P,滿足DP平面B1AE,此時(shí)AP=
1
2

(III)連接A1D,B1C,由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1CA1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴AD1是平面B1A1E的一個(gè)法向量,此時(shí)
AD1
=(0,1,1).
設(shè)
AD1
n
所成的角為θ,則cosθ=
AD1
n
|
AD1
||
n
|
=
-
a
2
-a
2
1+
a2
4
+a2

∵二面角A-B1E-A1的大小為30°,
∴|cosθ|=cos30°=
3
2
-
a
2
-a
2
1+
a2
4
+a2
=
3
2
,解得a=2,即AB的長(zhǎng)為2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=
3
,AD=2
2
,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AM⊥PM;
(Ⅱ)求AD與平面AMP所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-AM-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,己知平行四邊形ABCD中,∠BAD=60°,AB=6,AD=3,G為CD中點(diǎn),現(xiàn)將梯形ABCG沿著AG折起到AFEG.
(I)求證:直線CE直線BF;
(II)若直線GE與平面ABCD所成角為
π
6

①求證:FG⊥平面ABCD:
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AN平面MEC;
(Ⅱ)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為
π
6
?若存在,求出AP的長(zhǎng)h;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖直角梯形OABC中,∠COA=∠AOB=90°,OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,SO=1,分別以O(shè)C,OA,OS為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz.
(Ⅰ)求
SC
OB
夾角的余弦值;
(Ⅱ)求OC與平面SBC夾角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,ADEF,EFBC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB平面DEG;
(Ⅱ)求二面角C-DF-E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在長(zhǎng)方體AC1中,AB=BC=2,AA1=
2
,點(diǎn)E、F分別是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求異面直線AF和BE所成的角;
(2)求直線AF和平面BEC所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

四棱錐S-ABCD,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠DAB=135°,BC=2
2
,SB=SC=AB=2,F(xiàn)為線段SB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:SD平面CFA;
(Ⅱ)求面SCD與面SAB所成二面角大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知,若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
的面積是(   )
A.B.2C.D.4

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同步練習(xí)冊(cè)答案