Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}$．
（1）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)；
（2）若M的坐標(biāo)為（-1，0），直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，化為普通方程得$x-\sqrt{3}y+1=0$，圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程可得x²+y²=8，圓心C到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$，由此能求出直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$，由此能出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，化為普通方程可得$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}$，
∴圓C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=8，化為普通方程可得x²+y²=8，
圓心C到直線l的距離為$d=\frac{1}{{\sqrt{1+3}}}=\frac{1}{2}$，
故直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為$2\sqrt{8-{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}=\sqrt{31}$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=8，
得${t^2}-\sqrt{3}t-7=0$．（*）
設(shè)t₁，t₂是方程（*）的兩個(gè)根，則t₁t₂=-7，
故|MA|•|MB|=|t₁t₂|=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦長(zhǎng)的求法，考查兩線段的乘積的求法，考查韋達(dá)定理、均值不等式、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．