Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC的中點，AB=3，AC=AA₁=4，BC=5．
（1）求證：AB⊥A₁C；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由已知結合勾股定理可得AB⊥AC．再由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，可得AB⊥AA₁，然后由線面垂直的判定可得AB⊥平面AA₁C，進一步得到AB⊥A₁C；
（2）設A₁C與AC₁交于E點，連接ED．由三角形中位線定理可得A₁B∥ED，由線面平行的判定可得A₁B∥平面ADC₁；
（3）求出△ABC的面積$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，直接由棱柱的體積公式求解．

解答 （1）證明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，
∴AB⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AA₁C，
∵A₁C?平面AA₁C，
∴AB⊥A₁C；
（2）證明：設A₁C與AC₁交于E點，連接ED．
∵在△A₁BC中，D為BC的中點，E為A₁C的中點，
∴A₁B∥ED，
∵ED?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（3）解：∵△ABC的面積$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高h=4，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=Sh=6×4=24．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了柱、錐、臺體體積的求法，是中檔題．