Question

4．已知點P（1，-2），O（0，0），點M（x，y）滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{y-2x≤3}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$的取值范圍為（　　）

• A． [-1，14]
• B． [-14，1]
• C． [-2，13]
• D． [-13，2]

Answer 1

分析 由數(shù)量積的坐標運算求得線性目標函數(shù)z=x-2y-5，由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：∵P（1，-2），O（0，0），M（x，y），
∴z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$=（1，-2）•（x-1，y+2）=x-1-2（y+2）=x-2y-5．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{y-2x≤3}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（6，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{y-2x=3}\end{array}\right.$，解得：B（1，5），
化目標函數(shù)z=x-2y-5為y=$\frac{x}{2}-\frac{z}{2}-\frac{5}{2}$，
由圖可知，當(dāng)直線y=$\frac{x}{2}-\frac{z}{2}-\frac{5}{2}$分別經(jīng)過A，B時，直線在y軸上的截距有最小和最大值，
可得z有最大值和最小值分別為：1，-14．
∴z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$的取值范圍為[-14，1]．
故選：B．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．